El Siete
De una hoja de cálculo al caballo de batalla de las matemáticas.
El punto de partida: 142857
Todo empieza con el número cíclico del 7: 142857, los decimales de 1/7 = 0,142857142857… Sus múltiplos por 1 a 6 son permutaciones cíclicas de sus propios dígitos, y multiplicado por 7 da 999999. Este laboratorio nace de una investigación en hoja de cálculo sobre la regularidad de esos múltiplos al cambiar de base de numeración.
En cada base el número enseña una cara distinta. En base 8, sus múltiplos terminan en 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77 (porque 142857 ≡ 9 mod 64 y 9 en octal es 11). En base 7 es 1133331, casi palíndromo, y multiplicar por 7 es simplemente añadirle un cero: 11333310. Pero la cara más reveladora está en la base 2.
La base 2: donde el siete se firma a sí mismo
142857 = 1000101110000010012
El número del 7 tiene exactamente siete unos en binario. Y termina en …001001: la firma de 1/7 en base 2, cuya expansión es 0,(001) periódica. Sus dobles 2× y 4× conservan los siete unos (son desplazamientos), y 7× = 999999 acaba en seis unos seguidos.
El equivalente binario del 142857 no es él mismo convertido, sino (2¹⁸−1)/7 = 37449 = 001001001001001001: el periodo "001" repetido seis veces. Sus múltiplos revelan la estructura profunda:
| k | k × 37449 en binario | familia |
|---|---|---|
| 1 | 001001001001001001 | rotaciones de 001 |
| 2 | 010010010010010010 | rotaciones de 001 |
| 4 | 100100100100100100 | rotaciones de 001 |
| 3 | 011011011011011011 | rotaciones de 011 |
| 5 | 101101101101101101 | rotaciones de 011 |
| 6 | 110110110110110110 | rotaciones de 011 |
| 7 | 111111111111111111 | el 999999 binario |
En base 10 los séptimos forman una sola familia de rotaciones porque el 10 genera todos los restos módulo 7 (orden 6). En base 2 el orden es 3 —las potencias de 2 ciclan 1→2→4→1 módulo 7— y los séptimos se parten en dos familias: {1,2,4}/7 rotan 001 y {3,5,6}/7 rotan 011. El periodo se acorta al mínimo posible.
De ahí a los primos
Ese "doblar, doblar, doblar y volver" de las potencias de 2 módulo 7 es la misma operación que dibuja la secuencia regla: la estructura fractal de la divisibilidad por 2, con ejes de espejo en cada potencia de 2. Al preguntarnos qué posición ocupan los primos dentro de esa estructura, la investigación del 142857 desemboca en el problema general: las reglas p-ádicas, las ruedas de la criba y el residuo sin patrón conocido donde viven los primos.
El Laboratorio contiene el modelo completo y las herramientas interactivas: las reglas superpuestas del 2 y el 3, la rueda en espiral, y los análisis en servidor (octavas, criba progresiva, test especular de Hardy–Littlewood y reparto por radios de Dirichlet).
Laboratorio
Los enteros como superposición de reglas p-ádicas. Las ruedas son el orden; los primos, el residuo.
El modelo
Cada primo p dibuja sobre los enteros una regla: en cada n marca una profundidad vp(n), el número de veces que p divide a n. La regla del 2 tiene estalactitas en 2, 4, 8, 16… con ejes de espejo en cada potencia de 2; es fractal, como las marcas de una regla de medir, y cada duplicación repite el patrón añadiendo una espiga central más profunda.
El teorema fundamental de la aritmética dice que los enteros son la superposición de todas las reglas, una por primo, independientes entre sí. Un primo es un número que está en el suelo de todas las reglas ajenas: ninguna estalactita cae sobre él. Por eso ninguna regla individual puede "ver" a los primos — son precisamente sus puntos ciegos.
Al superponer un conjunto finito de reglas {2, 3, 5, …} aparece una rueda: un patrón periódico, cíclico y palindrómico de posiciones supervivientes. Con {2,3} sobreviven los 6k±1; con {2,3,5}, ocho radios módulo 30. La rueda es la parte ordenada y demostrable del sistema. Pero entre los supervivientes se cuelan impostores: compuestos sin factores pequeños (25, 35, 49, 55…). El primer impostor es siempre el cuadrado del primer primo sin regla dibujada — la estructura anuncia qué regla falta.
El objeto de estudio es el residuo: dentro de cada radio permitido, ¿en qué orden se alternan primos e impostores? Se sabe que los primos se reparten equitativamente entre los radios (Dirichlet, 1837) y que las correlaciones entre parejas siguen las predicciones de Hardy–Littlewood; no se conoce ningún patrón determinista. Este laboratorio permite mirar esa frontera en vivo: el orden perfecto de las ruedas y el moteado sin ritmo de su interior.
Reglas superpuestas
La regla del 2 (violeta, hacia abajo) y la del 3 (ámbar, hacia arriba). En el suelo común: primos en verde, impostores en rojo. Los ejes grises marcan los múltiplos de 6.
El primer impostor de cada ventana delata la siguiente regla que falta: 25 = 5², 49 = 7², 121 = 11²… el cuadrado del primer primo sin regla dibujada.
La rueda en espiral
Cada n cae en el radio de su residuo módulo la rueda. Los radios permitidos son fijos, periódicos y palindrómicos; el moteado verde/rojo dentro de cada radio no tiene patrón demostrado.
Análisis en servidor
Cálculos pesados en PHP sobre rangos grandes. Cada botón llama a un endpoint JSON de este mismo fichero.
Cómo leer los resultados. Octavas: el ratio entre octavas consecutivas debe acercarse a 2 siguiendo la curva 2k/(k+1) — es el teorema de los números primos erosionando cada duplicación. Criba progresiva: la pureza sube con cada regla pero con rendimiento decreciente, mientras el periodo de la rueda explota (2, 6, 30, 210, 2310, 30030). Test especular: el espejo de p en su octava es 3·2k−p; si el ratio_HL sale ≈ 0,88 se confirma que la simetría de la regla no conserva la primalidad más allá de la corrección de Hardy–Littlewood (la huella de las correlaciones tipo Goldbach). Radios: el reparto debe salir plano entre los radios permitidos — Dirichlet en acción; cualquier desviación sistemática sería noticia mundial.
Ciclos
La fábrica fractal de los números cíclicos: cada octava duplica la anterior y siembra colores nuevos.
Generador
Introduce un número coprimo con 10 (un primo bonito: 7, 17, 137, 142857 no, mejor 7…). Se calcula el periodo decimal de 1/p y se listan los múltiplos de su número cíclico en decimal y en base 2.
Cómo leer la tabla. Las filas en negro/tinta son la dinastía del 1: cada duplicación (1, 2, 4, 8, 16…) es el mismo número binario con un cero añadido a la derecha — multiplicar por 2 es desplazar. Cada octava [2k, 2k+1) repite todo lo anterior duplicado e introduce semillas impares nuevas, que estrenan color: el 3 (rojo), luego {5, 7} (verde), luego {9, 11, 13, 15} (azul)… El color de cualquier fila es la generación de su parte impar: n = impar × 2j hereda el color del impar. Es la secuencia regla otra vez, ahora gobernando los múltiplos: el fractal del 2 dentro del ciclo del primo.
El juego de la reabsorción. Cuando un múltiplo se sale del periodo, lo que asoma por la izquierda se reabsorbe por la derecha: 8 × 142857 = 1.142.856, y 1 + 142856 = 142857. Es la reducción módulo 99…9 (tantos nueves como el periodo): sumar la cabeza a la cola devuelve cada múltiplo a su rotación esencial. Por eso los bloques entre múltiplos de p repiten siempre las mismas posiciones.
La columna fase: el logaritmo discreto. La fase k de una fila indica que N × cíclico es (tras reabsorber) la rotación del número cíclico desplazada k dígitos: 10k ≡ N (mod p). Rastrear en qué posición cae un dígito concreto de cada múltiplo —como hacían las columnas "C del 1", "C del 2", "C del 4" de la hoja de cálculo original— es calcular exactamente esta función. Se llama logaritmo discreto, y su dificultad para primos gigantes sostiene la criptografía moderna (Diffie–Hellman, ElGamal): con p de 300 dígitos, nadie sabe calcular esta columna eficientemente. La marca × señala los múltiplos de p (el 99…9, fin de ciclo) y el guion las filas de otras familias, donde la rotación del 1 nunca pasa: para verlas todas con fase, elige un primo de reptend completo (7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97…).
Reloj
La órbita de las potencias de 10 módulo p: el mecanismo interno que fabrica el periodo, las familias y las fases.
La esfera del primo
Un círculo con p posiciones (los restos módulo p). Desde el 1, cada paso multiplica por 10: la órbita que se dibuja es el reloj interno de 1/p. Cada familia de ciclos es una órbita separada, con su color.
Cómo leer el reloj. Las p posiciones del círculo son los restos posibles al dividir entre p. El punto grande es el 1, la salida. Cada paso de la órbita multiplica por 10 módulo p — exactamente los restos que va dejando la división larga de 1/p (la hoja "División Entera" de la hoja de cálculo original). Cuando la órbita vuelve al 1, el reloj ha dado la vuelta: ese número de pasos es el periodo de 1/p. El anillo marca la segunda campanada, 10² mod p: restarle 1 da el juego de la hoja "Restos" (99 mod p), que medía la distancia del 99 al múltiplo — la misma esfera consultada en su segundo tic.
Familias y fases. Si la órbita del 1 no pasa por todas las posiciones, los restos que quedan fuera forman órbitas paralelas: son las familias de ciclos de la página Ciclos, cada una con su color aquí. El pequeño teorema de Fermat garantiza que todas las órbitas dividen la esfera en partes iguales: el periodo siempre divide a p−1 (para p primo), y hay (p−1)/periodo familias. La fase de un número N es su posición en la órbita del 1: cuántos tics separan el 1 de N. Leer el reloj hacia delante es la exponencial (10k mod p, fácil); leerlo hacia atrás es el logaritmo discreto (dado N, ¿qué tic es?, difícil para primos gigantes). Un reptend completo (7, 17, 19, 23…) es un primo cuya órbita del 1 recorre la esfera entera: una sola manecilla que toca todas las horas.
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